El problema del "corredor solitario" sólo parece sencillo

La versión original de esa historia apareció en Quanta Magazine.

Imagine un ejercicio de entrenamiento extraño: un grupo de corredores comienza a correr por una pista circular, con cada corredor manteniendo un ritmo único y constante. ¿Cada corredor acabará siendo "sol" o relativamente lejos de todos los demás, al menos una vez, sin importar su velocidad?

Los matemáticos conjeturas de que la respuesta es sí.

El problema del "corredor solitario" puede parecer sencillo y poco significativo, pero aparece de muchas formas a lo largo de las matemáticas. Es equivalente a preguntas de teoría de números, geometría, teoría de grafos y mucho más: sobre cuándo es posible obtener una línea de visión clara en un campo de obstáculos, o dónde se pueden mover las bolas de billar sobre una mesa o cómo organizar una red. "Tiene tantas facetas. Toca muchos campos matemáticos diferentes", dijo Matthias Beck, de la Universidad Estatal de San Francisco.

Sólo para dos o tres pasillos, la prueba de la conjetura es elemental. Los matemáticos lo demostraron a cuatro corredores en la década de 1970 y en 2007 habían llegado hasta siete. Pero en las últimas dos décadas, nadie ha podido avanzar más.

El pasado año, Matthieu Rosenfeld, matemático del Laboratorio de Informática, Robótica y Microelectrónica de Montpellier, resolvió la conjetura para ocho corredores. Y en pocas semanas, un estudiante de segundo año de la Universidad de Oxford llamado Tanupat (Paul) Trakulthongchai se basó en las ideas de Rosenfeld para demostrarlo a nueve y diez corredores.

El repentino progreso ha renovado el interés por el problema. "Es realmente un salto cuántico", dijo Beck, quien no participó en el trabajo. Agregar sólo un corredor hace que la tarea de demostrar la conjetura sea "exponencialmente más difícil", dijo. "Pasar de siete corredores ahora 10 corredores es increíble".

El guión inicial

Al principio, el problema del corredor solitario nada tenía que ver con correr.

En cambio, los matemáticos estaban interesados ​​en un problema aparentemente no relacionado: cómo utilizar las fracciones para aproximar números irracionales como pino, una tarea que tiene un gran número de aplicaciones. En la década de 1960, un estudiante de posgrado llamado Jörg M. Wills conjeturó que un método centenario para hacerlo es óptimo, que no hay forma de mejorarlo.

En 1998, un grupo de matemáticos reescribió esta conjetura en el lenguaje de correr. Dime N los corredores comienzan desde el mismo punto en una pista circular de 1 unidad de longitud, y cada uno corre a una velocidad constante distinta. La conjetura de Wills equivale a decir que cada corredor siempre terminará solo en algún momento, independientemente de cuál sea la velocidad de los otros corredores. Más precisamente, cada corredor se encontrará en algún momento a una distancia de al menos 1/N de cualquier otro corredor.

Cuando Wills vio el documento del corredor solitario, envió un correo electrónico a uno de los autores, Luis Goddyn de la Universidad Simon Fraser, para felicitarle por "este nombre maravilloso y poético". (La respuesta de Goddyn: "Oh, todavía estás vivo.")

Los matemáticos demostraron también que el problema del corredor solitario es equivalente a otra pregunta. Imagínese una hoja infinita de papel milimetrado. En el centro de cada parrilla, coloque un pequeño cuadrado. A continuación, comience por una de las esquinas de la parrilla y dibuje una línea recta. (La línea puede apuntar en cualquier dirección que no sea perfectamente vertical u horizontal.) ¿Qué tamaño pueden llegar a ser los cuadrados más pequeños antes de que la línea deba tocar uno?

A medida que las versiones del problema del corredor solitario proliferaron a lo largo de las matemáticas, el interés por la pregunta creció. Los matemáticos demostraron diferentes casos de la conjetura utilizando técnicas completamente distintas. En ocasiones se basaban en herramientas de la teoría de los números; en otras ocasiones se dirigieron a la geometría o la teoría de grafos.